The natural numbers 1, 2, 3, ...

are as natural as their name suggests. You can imagine how people once began to communicate, as to how many mammoths they had seen (cardinal aspect) or how children told stories about how they came first, second or third at a foot race (ordinal aspect). Our common decimal system prevailed because we have ten fingers (= 2 × 5). In Babylon they used a number system with base 60 (= 2 × 2 × 3 × 5), Computers master only ones and zeros, the Roman numerals proved themselves to be too clumsy.

Independent of the system we use, are the properties of the natural numbers. We can distinguish between even and odd numbers on the one hand as well as between prime numbers and composite numbers on the other hand. The number 1, however, isn't prime either, because all other numbers would be composite then (17 = 1 × 17). 2 is the only even prime number. One doesn't distinguish between lucky numbers and unlucky numbers. Also other meanings aren't valid. The 31st day in the 12th month of the year gives no reasons for launching firework rockets or for or being noisy.

Mathematicians denote the set of the natural numbers by N, i. e. N := { 1, 2, 3 ⋅ ⋅ ⋅ }. (Engineers prefer the number zero to be included in this set. Thus N₀ = { 0, 1, 2, 3 ⋅ ⋅ ⋅ }). N is complete under addition. Attempts at subtracting led to the detection of the additive inverses, the negativ numbers -N := {⋅ ⋅ ⋅, -3, -2, -1, } and, much later, the number zero.
An axiomatic system for N is for example the following, suggested by Giuseppe Peano:
(1) 1 is a natural number
(2) every natural number has exactly one successor
(3) 1 is no successor
(4) two different natural numbers have different successors
(5) if a set M of natural numbers contains the number 1 and if for every number m in M, the successor of m is also contained in M, then M = N.

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. ˚ ∘ • ∘ ∀ ∃ ∗ ∙ ⋅ ⋄

Die ganzen Zahlen ...

Die rationalen Zahlen

Körperaxiome (algebraische Axiome):
(1) Kommutation für beide Operationen. (a+b = b+a; a⋅b = b⋅a)
(2) Assoazivität für beide Operationen. (a+(b+c) = (a+b)+c; a⋅(b⋅c) = (a⋅b)⋅c)
(3) Die Multiplikation ist distributiv bezüglich der Addition. (a⋅(b+c) = a⋅b+a⋅c)
(4) Es existieren neutrale Elemente (0 bzw. 1) für beide Operationen. (a+0 = a; a⋅1 = a)
(5) Für jede Zahl (ausgenommen die 0 für die Multiplikation) existieren inverse Elemente für beide Operationen. (a+(−a) = 0; a⋅¹/_a = a⋅a^-1 = 1)
Ausgestattet mit diesen 5 Axiomen ist Q bereits ein Körper K.

Ordnungsaxiome:
(6) Trichotomiegesetz. (Es kann immer nur eine der 3 Beziehung wahr sein: a < b, a = b, a > b)
(7) Transitivitätsgesetz. (Wenn a < b und b < c dann a < c)
(8) Monotoniegesetz. (Wenn a < b dann a+c < b+c für alle c, a⋅c < b⋅c für alle c > 0)
Ausgestattet mit diesen 8 Axiomen wird Q zu einem angeordneter Körper K.

Die reellen Zahlen R

Mit einem angeordneter Zahlenkörper wie Q kann man doch gut rechnen, würde man meinen! Ja, schon. Aber da fehlt noch was. Denn unendlich und überall dicht, heisst noch lange nicht vollständig. Beim rechtwinkeligen Dreieck mit 2 gleichen Schenkeln der Länge a = b, gilt ja a² + b² = c² (Pythagoras ;-) also a² + a² = c² also c = √(a² + a²) = √(2a²) = a√2. So haben wir es gelernt. Was wir aber √2 nennen, ist keine rationale Zahl, denn sie entzieht sich der Darstellung als Bruch zweier ganzer Zahlen. (Ein Beweis dafür findet sich hier).
Wer das entdeckte? Vor gut 2.500 Jahren, ca. 700 Jahre noch bevor man in Indien die Null nachweisen kann, kamen die Pythagoreer mit ihren geometrischen Methoden schon dahinter, dass es Strecken gibt, von denen sich die eine nicht als ganzzahliges Vielfaches der anderen schreiben lässt. Die Leute um Pythagoras nannten solche Strecken inkommensurabel, hielten ihre Entdeckung der Inkommensurabilität aber geheim, denn sie wollten sie nicht wahr haben, weil sie nicht zu ihrer Harmonieverliebtheit passte. Es war aber auch schwierig zu verstehen, und das Ringen darum, das Unendliche und das "unendlich Kleine" in den Griff zu bekommen, zog sich lange hin. Selbst Newton und Leibnitz gebrauchten noch diffuse Beschreibungen. Leute wie Euler, Bolzano, Cauchy, Weierstraß, Cantor, Dedekind und viele andere, haben die Dinge allmählich erhellt und Methoden zur Handhabung entwickelt.
Leonhard Euler (1707 - 1783) fand die Beziehung e^iα = cosα+isinα die für α = π zu e^iπ+1 = 0 wird. Es ist eines der vielen Wunder der Natur, die zwei biederen Zahlen 0 und 1 in einer Beziehung mit so illustren Gestalten, wie e, π und i, mit i² = −1, zu sehen. Die in der Eulerschen Formel e^iπ+1 = 0 auftretenden Größen e (Eulersche Zahl e = 2,71828…, Basis des natürlichen Logarithmus und der Exponentialfunktion) und π (π = 3,14159…, Kreismessungszahl U/d) hätten Pythagoras noch mehr aus der Fassung gebracht als √2. Die irrationale √2 kann wenigstens einer algebraischen Gleichung genügen, gehört also zusammen mit den rationalen Zahlen zu den algebraischen Zahlen, während die irrationalen e und π zu den transzendente Zahlen gehören. (Es gibt ℵ₀ algebraische Zahlen und c transzendente Zahlen;

ℵ0 < c < P[(0,1)] < P[P[(0,1)]]	< P[P[P[(0,1)]]] < ⋅⋅⋅;

Der Dedekindsche Schnitt
oder der Weg ins Kontinuum

Der Schnitt sei am Beispiel der Zahl √2 erläutert. Fasst man alle Zahlen, deren Quadrat < 2 ist, in einer Menge A zusammen und alle Zahlen deren Quadrat > 2 ist, in einer Menge B, dann muss zwischen A und B eine Lücke sein, in welcher √2 sein muss. Es liegt ein Dedekindschen Schnitt (A|B) mit der Trennungszahl t = √2 vor. Wir haben
(1) Sowohl A als auch B sind echte Teilmengen von R. (A ⊂ R ∧ B ⊂ R)
(2) A vereinigt mit B ergibt R ohne √2. (A ∪ B = R\√2)
(3) Für jedes a aus A und für jedes b aus B gilt a < b, bzw. gilt a ≤ t = √2 ≤ b. (∀ a ∈ A ∧ ∀ b ∈ B ist a < b, bzw. gilt a ≤ t = √2 ≤ b). Mit solchen Schnitten werden die Lücken in den rationalen Zahlen aufgespürt und gefüllt.

Das Schnittaxiom oder Axiom der Ordnungsvollständigkeit:
(9) Jeder Dedekindsche Schnitt in R hat genau eine Trennungszahl.
Ausgestattet mit diesem 9. Axiom ist R ein ordnungsvollständiger Körper K.

Beispiel: Aus a < b folgt 2a = a+a < a+b < b+b = 2b ⇒ a < (a+b)/2 < b (Ungleichung des arithmetischen Mittels).

Anmerkungen:
− Die Trennungszahl t eines Dedekindschen Schnitts (A|B) ist immer das Maximum der Menge A oder das Minimum der Menge B. In beiden Fällen ist sie sowohl Supremum von A als auch Infimum von B. In anderen Worten, man kann den Schnitt (A|B) so (−∞ , t] | (t , ∞) oder so (−∞ , t) | [t , ∞) darstellen. In beiden Fällen repräsentiert er die Zahl t ∈ R. Im Falle √2 also so (−∞ , √2] | (√2 , ∞) oder so (−∞ , √2) | [√2 , ∞).

− Das Vollständigkeitsaxiom, Axiom (9), ist das eigentlich analytische Axiom und das Verständnis dafür wächst mit der Zeit. Hier noch ein paar Formulierungen, die zum Schnitt äquivalente sind:

9a) Supremumsprinzip: Jede nicht-leere nach oben beschränkte Teilmenge von R hat eine kleinste obere Schranke (Supremum). Jede nicht-leere nach unten beschränkte Teilmenge von R hat eine größte untere Schranke (Infimum).
Zum Beweis des Infimumprinzips sei M ≠ ∅ nach unten beschränkt. Besitzt M ein kleinstes Element, also ein Minimum, ist dies eine untere Schranke von M, sogar die grösste untere Schranke, also das Infimum von M, somit ist nichts zu zeigen. Besitzt M kein kleinstes Element, bilden wir die Mengen A aller unteren Schranken von M und B := R\A; also gilt A ∪ B = R. Weiters ist A nicht leer (enthält untere Schranken), M besitzt mindestens ein x aber keine unteren Schranken, also gilt M ⊂ B, B ist nicht leer (enthält u. a. alle b > x), und es gilt a < b für alle a ϵ A, b ϵ B. Die Mengen A, B definieren also einen Schnitt (A|B). Da für die Trennungszahl t des Schnittes, die nach Axiom (9) existiert, stets a ≤ t ≤ b (a ϵ A, b ϵ B) gilt, folgt daraus, dass t eine untere Schranke von M ist, also in A liegt und somit das grösste Element von A, also die grösste aller unteren Schranken von M ist.
Das Supremumsprinzip zeigt man in gleicher Weise. Wir erhalten damit die Erkenntnnis, dass jeder nichtleere, beschränkte Intervall reeller Zahlen ein Infimum und ein Supremum besitzt.
9b) Intervallschachtelung: Der Durchschnitt jeder absteigenden Folge von nicht-leeren Intervallen ist nicht leer.
9c) Jede Cauchyfolge (a_n) konvergiert.
(Strebt a_n → a, gibt es für jedes ε > 0 ein n₀, so dass für alle n > n₀ stets |a_n − a| < ε/₂ bleibt. Sind also die indices m, n beide > n₀, so ist |a_m − a_n| ≤ |a_m − a| + |a − a_n| < ε/₂ + ε/₂ = ε. Eine Folge konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchyfolge ist, wenn es also zu jedem ε > 0 einen index n₀ = n₀(ε) gibt, so dass für alle m, n > n₀ jeweils |a_m − a_n| < ε ist).
9c) Für jede offene Überdeckung Ω eines abgeschlossenen Intervalls [a, b] gibt es eine endliche Teilmenge Ω' ⊂ Ω die bereits [a, b] überdeckt.

− Summa sumarum: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C, wobei C = {(a + ib) | a,b ∈ R ∧ i² = −1}. Die komplexen Zahlen C bilden einen vollständigen Zahlenkörper, der durch Schnitte nicht mehr angereichert werden kann. C ist aber nicht angeordnet (keine Ordnungsaxiome).

1.3. DEFINISIE: Gestel X ⊂ R. As daar ’n getal a bestaan so dat so dat vir elke x ϵ X geld dat x ≤ a dan heet a ’n bogrens van X, ...

1.4. DEFINISIE: As X ⊂ R van bo begrens is dan heet die kleinste van die bogrense van X die supremum of die kleinste bogrens van X en word geskryf as sup X of k.b.g. X. ...

1.5. STELLING: As X ⊂ R dan is sup X = γ ϵ R as en slegs as
    (i) x ≤ γ vir alle x ϵ X,
    (ii) vir elke reële getal ε > 0 ’n x ϵ X bestaan sodanig dat γ − ε < x.